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Géométrie/Sphères et boules

1. Vocabulairea. Sphères et boules

• Sphère
Soit O un point de l'espace et R un nombre positif.La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = R.
Une sphère est une surface.

• Boule
Soit O un point de l'espace et R un nombre positif.La boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM ≤ R.
Une boule est un solide.

Exemple
La sphère ci-contre a pour centre O et pour rayon R = OM. O, A et C n'appartiennent pas à cette sphère. M et B appartiennent à la sphère. Les points M, C, O, B appartiennent à la boule. A n'appartient pas à la boule car OA > R.

b. Grand cercle

Soit une sphère de centre O et de rayon R.Un grand cercle de la sphère est un cercle de centre O et de rayon R.

Remarque : Si le milieu du segment formé par deux points de la sphère est le centre de la sphère, alors on dit que ces deux points sont diamétralement opposés.

Exemple
On considère la sphère de centre O ci-contre. Les points A et B sont diamétralement opposés. On dit aussi que [AB] est un diamètre de la sphère. Deux grands cercles de la sphère ont été représentés en orange et en vert.

2. Section plane d'une sphère

Quand elle existe, la section plane d'une sphère par un plan est un cercle ou un point.

Exemple
Soit une sphère de centre O et de rayon R. On considère un plan P et un point H de ce plan tel que la droite (OH) soit perpendiculaire à ce plan. On appelle la distance OH la distance du centre O au plan P.

1er cas
Si OH > R, alors le plan P ne coupe pas la sphère ; il n'y a donc pas de point commun.

2eme cas
Si OH = R, alors le plan P coupe la sphère en un unique point H. La section plane se réduit alors au point H. On dit que le plan P est tangent à la sphère.

3eme cas
Si 0 < OH < R, alors la section plane de la sphère par le plan P est un cercle de rayon [MH]. Le triangle OHM est rectangle en H. Par application du théorème de Pythagore dans OHM, il vient :

On dit que la sphère est séparée en deux calottes sphériques.

Remarque : Si OH = 0, alors la section de la sphère par un plan est un grand cercle de la sphère et la sphère est ainsi séparée en deux hémisphères.

3. Aire et volume

a. Aire d'une sphère

Soit une sphère de centre O et de rayon R.
L'aire de cette sphère est donnée par : A = 4πR2.

Exemple
On souhaite peindre un ballon de 30 cm de diamètre. Pour cela, on a besoin de la surface du ballon. Autrement dit, calculer l'aire de la sphère.
A = 4πR2 = 4π × 152 = 900π ≈ 2 826.
La valeur exacte de l'aire est 900π cm2. Une valeur approchée est 2 826 cm2.

b. Volume d'une boule

Soit une boule de centre O et de rayon R.Le volume de cette boule est donnée par :     

Exemple 1
Trouver le volume d'une boule de 6 mètres de rayon.
.
La valeur exacte du volume est 288π m3. Une valeur approchée à l'unité du volume est de 904 m3.

Exemple 2
La Terre est un solide assimilable à une boule de rayon 6370 km.
En donner un volume approché en écriture scientifique.
.
Une valeur approchée du volume terrestre est 1,1 × 1012 km3.

Les paroles rapportées/Le discours indirect libre

Il existe trois manières de rapporter les paroles des personnages dans un récit :

- le discours direct qui reprend les paroles telles qu'elles sont énoncées ;
- le discours indirect qui est intégré au récit ;
- le discours indirect libre qui emprunte des caractéristiques à l'un et à l'autre des discours.1. Les emprunts aux discours direct et indirect

Le discours indirect libre est l'intermédiaire entre le discours direct et le discours indirect.

• Exemples :

Discours direct : « Non ! Je ne partirai pas d'ici, demain ! »
Discours indirect : Elle lui dit qu'elle ne partirait pas de là, le lendemain.
Discours indirect libre : Elle se fâcha. Non ! Elle ne partirait pas de là, le lendemain !

a. Les caractéristiques empruntées au discours direct

Les caractéristiques empruntées au discours direct sont :
• les types de phrases : exclamatives, interrogatives (! ?) ;
• les marques d'expressivité de la langue orale (Non !) ;
• les marques de subjectivité (les manières de parler du personnage) ;
• pas de proposition subordonnée.

b. Les caractéristiques empruntées au discours indirect

Les caractéristiques empruntées au discours indirect sont :
• les paroles ne sont précédées d'aucun tiret, ni guillemets ;
• les repères de temps et de lieu (« là », « le lendemain ») ;
• les mêmes pronoms (« elle ») ;
• les mêmes temps verbaux sont utilisés, on applique la concordance des temps (« partirait ») ;
• la parole rapportée est résumée.

2. Ses particularités

Le discours indirect libre est particulièrement utilisé dans les récits littéraires.

Plus léger que le discours indirect, le discours indirect libre permet de rester dans la continuité de la narration, tout en faisant entendre les paroles de quelqu'un ou en rapportant ses pensées.

• Le discours indirect libre n'utilise pas de verbe introducteur de la parole comme dire, demander, interroger, et donc pas de proposition subordonnée, simplement des indépendantes ;
• la distinction entre paroles rapportées et narration est gommée : il s'agit de la transcription des paroles prononcées, écrites ou pensées, souvent utilisée dans le monologue intérieur ;
• on utilise souvent aux temps du passé : imparfait, plus-que-parfait de l'indicatif, présent du conditionnel à valeur de futur dans le passé ;
• le locuteur n'est pas identifié de façon explicite ;
• le discours indirect libre est parfois difficile à repérer hors contexte.

3. Un exemple : extrait de Tropismes de Nathalie Sarraute

« Elle se tenait assise, les mains croisées sur son sac assorti, souriante, hochant la tête, apitoyée, oui, bien sûr elle avait entendu raconter, elle savait comme l'agonie de leur grand-mère avait duré, c'est qu'elle était si forte, pensez donc, elle avait conservé toutes ses dents à son âge... Et Madeleine ? Son mari...
Ah, les hommes, s'ils pouvaient mettre au monde des enfants, ils n'en auraient qu'un seul, bien sûr, ils ne recommenceraient pas deux fois, sa mère, la pauvre femme, le répétait toujours. »

Elle → 3e personne du singulier
oui → marque de l'oralité
bien sûr → marque de l'oralité
c'est qu'elle était si forte → marque de subjectivité
pensez donc → marque de l'oralité
Et Madeleine ? → marque de l'expressivité
Son mari... → marque de l'expressivité
Ah, les hommes → marque de l'oralité
ils n'en auraient qu'un seul → marque de subjectivité

Dans cet extrait, on suit les pensées du locuteur, qui n'est pas identifié. Le récit est au passé, les temps utilisés sont l'imparfait (pouvaient), le plus-que-parfait (avait conservé), le présent du conditionnel (recommenceraient) qui exprime le futur dans le passé. On ne relève aucun mot introducteur de la parole, aucun lien logique entre les différentes propositions.

L'essentiel

Le discours indirect libre est intermédiaire entre le discours direct et le discours indirect. Il emprunte certaines caractéristiques au discours direct comme les types de phrases, la marque de l'expressivité et de la subjectivité.
Au discours indirect, il emprunte les temps verbaux, les repères de temps et de lieu...
Particulièrement utilisé dans les récits littéraires, il permet de rester dans le récit tout en faisant entendre les paroles d'un personnage.